1. Les divers Problèmes de la théorie de la partition des nombres ont été étudiés surtout par les mathématiciens anglais, Cayley, Sylvester et Macmahon¹, qui les ont abordés d'un point de vue purement algébrique. Ces auteurs n'y ont fait aucune application des méthodes de la théorie des fonctions, de sorte qu'on ne trouve pas, dans la théorie en question, de formules asymptotiques, telles qu'on en rencontre, par exemple, dans la théorie des nombres premiers. Il nous semble donc que les résultats que nous allons faire connaître peuvent présenter quelque nouveauté.

2. Nous nous sommes occupés surtout de la fonction $p(n)$, nombre des partitions de $n$. On a $$f(x)=\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3)\cdots }=\sum_{0}^{\infty}p(n)x^n \quad (|x|\lt 1).$$

Nous avons pensé d'abord à faire usage de quelque théorème de caractère Taubérien: on désigne ainsi les théorèmes réciproques du théorème classique d'Abel et de ses généralisations. A cette catégorie appartient l'énoncé suivant:

Soit $g(x)=\sum a_n x^n $ une série de puissances à coefficients POSITIFS, telle qu'on ait $$\mbox {log }g(x)\sim \frac{A}{1-x},$$ quand $x$ tend vers un par valeurs positives. Alors on a $$\mbox {log }s_n=\mbox {log }(a_0+a_1+\cdots a_n)\sim 2\sqrt{(An)},$$ quand n tend vers l'infini².

En posant $g(x)=(1-x)f(x)$, on a $$A=\frac{\pi ^2}{6};$$ et nous en tirons

où $\epsilon $ tend vers zéro avec $1/n$.

3. Pour pousser l'approximation plus loin, il faut recourir au théorème de Cauchy. Des formules $$p(n)=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{f(x)}{x^{n+1}}\: dx ,$$ avec un chemin d'intégration convenable intérieur au cercle re rayon un, et

(fournie par la théorie de la transformation linéaire des fonctions elliptiques), nous avons tiré, en premier lieu, la formule vraiment asymptotique On a \begin{align*} & p(10)=42,p(20)=627, p(50)=204226, p(80)=15796476;\\ & P(10)=48,P(20)=692, P(50)=217590, P(80)=16606781. \end{align*}

Les valeurs correspondantes de $P(n):p(n)$ sont $$1.145;1.104; 1.065; 1.051:$$ la valeur approximative est toujours en excès.

Mais nous avòns abouti plus tard à des résultats beaucoup plus satisfaisants. Nous considérons la fonction

En faisant usage des formules sommatoires que démontre M. E. Lindelöf dans son beau livre Le calcul des résidus, on trouve aisément que $F(x)$ (on parle, il va sans dire, de la branche principale) a pour seul point singulier le point $x=1$, et que la fonction $$ F(x)-\frac{x^{\frac{1}{24}}}{\sqrt{(2\pi )}}\sqrt{\left (\mbox{log }\frac{1}{x} \right )}\left [\exp \left \{\frac{\pi ^2}{6\mbox{log } (1/x)}\right \}-1\right ] $$ est régulière pour $x=1$. On est conduit naturellement à appliquer le théorème de Cauchy à la fonction $f(x)-F(x)$, et l'on trouve où $k$ désigne un nombre quelconque supérieur à $\pi / \sqrt{6}$. L'apporoximation, pour des valeurs assez grandes de $n$, est très bonne: on trouve, en effet, \begin{align*} & p(61)=1121505, p(62)=1300156, p(63)=1505499;\\ & Q(61)=1121539, Q(62)=1300121, Q(63)=1505536. \end{align*} La valeur approximative est, pour les valeurs suffsamment grandes de $n$, alternativement en excès et en défaut.

5. On peut pousser ces calculs beaucoup plus loin. On forme des foncttions, analogues à $F(x)$, qui présentent, pour les valeurs $$ x=-1,e^{\frac{2}{3}\pi i},e^{-\frac{2}{3}\pi i},i,-i,e^{\frac{2}{5}\pi i},\ldots , $$ des singularités d'un type très analogue à celles que présente $f(x)$. On soustrait alors de $f(x)$ une somme d'un nombre fini convenable de ces fonctions. On trouve ainsi, par exemple,

où $k$ désigne un nombre quelconque plus grand que $\frac{1}{4}\pi \sqrt{\frac{2}{3}}$.